Pensamientos binarios
Publicado: 20:13 02/03/2008 · Etiquetas: , · Categorías:
Georg Cantor es sin duda uno de los matemáticos más originales y creativos que nos ha dado la historia. Sus trabajos sobre el infinito matemático y la teoría de conjuntos han sido claves para el progreso de las matemáticas  y algunos de sus teoremas sientan las bases para áreas como la teoría de la computación. Además sus teoremas son unas muestra de como, una vez más, las matemáticas pueden ir en contra de la intuición y el pensamiento cotidiano. En esta entrada trataré de hacer un esbozo sobre algunos de sus descubrimientos.



Todo comienza cuando Cantor buscaba una forma de comparar el tamaño de dos conjuntos sin necesidad de contar los elementos que contienen. De esta forma llegó a la conclusion de que dos conjuntos son iguales si podemos poner, mediante una cierta funcion, en correspondencia unívoca cada elemento de un conjunto con uno y solo uno de los elementos del otro. Por ejemplo si tenemos un conjunto de cuatro cucharas y de cuatro tenedores podemos agrupar cada cuchara con cada tenedor y como hemos encontrado una correspondencia afirmamos que el conjunto de las cucharas y el de los tenedores tiene el mismo tamaño o cardinal.

Este teorema aparentemente trivial tiene la "gracia" de que en ningún momento se impone que los conjuntos deban ser finitos. Así pues es perfectamente válido si consideramos conjuntos infinitos de objetos.

Y es que cuando sacamos a relucir el infinito es posible que muchas de las cosas que inconscientemente damos por supuestas no sean tal. Por ejemplo podriamos pensar en el conjunto de los numeros naturales y el conjunto de los numeros naturales pares. Los dos conjuntos son infinitos pero podriamos pensar que hay más números naturales que natúrales pares ya que en este último conjunto estamos decartado números que sí se encuentran en el conjunto de los números naturales. Sin embargo basta una sencilla correspondencia:

1<->2
2<->4
4<->6
.
.
.
n<->2n
.
.
.

Es decir, simplemente asociamos cada elementos del conjunto de los naturales con su doble en el de los naturales pares. Como hemos encontrado una correspondencia válida afirmamos que los dos conjuntos infinitos són iguales.

Mucho más sorprendente todavía resulta el descubrimiento de que el conjunto de los números reales es mucho mas "grande" que el conjunto de los números naturales. Más tecnicamente diremos que el tamaño de los naturales es infinito numerable y el de los reales infinito no numerable.

Personalmente esta demostración de Cantor llamada "método de la diagonal" ha sido una de las que mas me ha sorprendido, tanto por su gran sencillez y originalidad como por el resultado que demuestra, que vuelve a derribar nuestra intuición.

Para demostrar que hay más números reales que números enteros Cantor recurre al famoso método de demotración llamado "reducción al absurdo". Lo que intenta es demostrar justo lo contrario, que ambos conjuntos son iguales, y a través de la demostración hallar una contradicción que la invalida. Como ésta queda invalidada no queda sinó concluir la afirmación contraria: que el conjunto de los números reales tiene una mayor cardinalidad que el de los números naturales.

Por lo tanto vamos a demostrar que existe la misma cantidad de números reales que de números naturales.Para simplificar consideraremos solo los infinitos números reales que hay en el intervalo (0,1). Esto no resta validez a la demostración. Entonces, como ya sabemos, ha de existir una correspondencia unívoca entre los elementos de los dos conjuntos. Supongamos que existe y vamos enumerando cada pareja:

N
1  ->x1=0,371652…
2 ->x2=0,500000…
3 ->x3=0,142678…
4 ->x4=0,000819…
5 ->x5=0,987676…
.
.
N->xn=0,a1 a2 a3 a4 a5…an…
.
.

Entonces si esta correspondència fuese unívoca todos y cada uno de los números reales aparecerían en esta lista infinita.

Pero entonces Cantor define un número real que es absolutamente imposible que pueda aparecer en esta lista infinita, el número tiene la forma decimal 0,b1 b2 b3...bn... y se define de la siguiente forma:

- b1 es diferente del primer decimal de x1
- b2 es diferente del segundo decimal de x2
- b3 es diferente del tercer decimal de x3
.
.
.
-bn es diferente del tercer decimal de xn
.
.

Y nos damos cuenta de que un número definido de esta forma es imposible que se encuentre en la lista ya que difiere en al menos una cifra de x1, de x2, de x3 y así hasta el infinito.

Por lo tanto al haber encontrado un número que no se encontraba en la lista nuestra suposición inicial es falsa y no hay una correspondencia unívoca, luego ambos conjuntos infinitos son en verdad diferentes.

Resulta tambien sorprendente que el razonamiento se exitende exactamente d ela misma forma para cualquier intervalo de números reales (a,b) y es más,  se demuestra que el intervalo (0,1) no tiene menos elementos que por ejemplo el intervalo (2, 2000).

Estos y otros muchos descubrimientos són lo que hicieron célebre a Cantor. Cantor llevó a las matemáticas a un territorio inexplorado donde se funden con la filosofia y la metafísica.

Publicado: 20:51 28/02/2008 · Etiquetas: , · Categorías:
Estreno blog con un diseño pelín (bueno va muy)  cutre pero ya lo iré puliendo cuando tenga tiempo y ganas.

No me caracterizo por escribir asiduamente en el foro pero sí que soy un asiduo lector. La verdad es que este foro es el más divertido de todos los que he visitado y siempre me pego algunas risas aparte de leer con mucho gusto muchos temas interesantes, sobretodo los del subforo ciencia.

Probablemente centraré el blog en hablar de videojuegos (obvio), libros y matemáticas, tres cosas que me apasionan mucho.

Un saludo y nos vemos por el foro! (a ver si escribo más)

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