Problema: Si en un colectivo hay 10 asientos vacíos, ¿en cuántas formas pueden sentarse 7 personas? Rta: 604.800.

1. Seña secreta que permite el acceso a algo, a alguien o a un grupo de personas antes inaccesible. -> Contraseña.
2. Revolución en sentido contrario de otra próximamente anterior. -> Contrarrevolución.
3. Dicho de un animal: que se cría en la compañía del hombre, a diferencia del que se cría salvaje. -> Doméstico, ca.
4. Variedad de leche fermentada, que se prepara reduciéndola por evaporación a la mitad de su volumen y sometiéndola después a la acción de un fermento denominado maya. -> Yogur.
5. Raja o quiebra de un cuerpo sólido. -> Rotura.
6. Último en una lista o serie. -> Postrero, ra.
7. Composición musical formada de fragmentos o temas de obras diversas. -> Popurrí.

Problema: Como fin de nuestra charla sobre el número de combinaciones posibles, resolvamos el siguiente problema relacionado con la vida escolar.

Hay en clase 25 alumnos. ¿En cuántas formas diferentes pueden sentarse en los pupitres?

Solución: Para los que han asimilado lo expuesto anteriormente, la solución es muy sencilla: basta multiplicar sucesivamente los 25 números siguientes: 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x … x 23 x 24 x 25.

En matemáticas existen diversos métodos de simplificación de los cálculos, pero para facilitar operaciones como la que acabamos de mencionar, no los hay. El único procedimiento para efectuar exactamente esta operación consiste en multiplicar con paciencia todos esos números. Solo puede reducirse algo de tiempo requerido para efectuar esa multiplicación eligiendo una agrupación acertada de los mismos. El resultado que se obtiene es un número enorme compuesto de 26 cifras, cuya magnitud es incapaz de representársela nuestra imaginación.

He aquí el número: 15.511.210.043.330.985.984.000.000.

1. Aparato electroacústico que detecta la presencia y situación de objetos sumergidos, mediante ondas producidas por el propio objeto o por la reflexión de las que emite el aparato. -> Sonar.
2. Queso de procedencia italiana, hecho originalmente con leche de búfala, que se come muy fresco. -> Mozzarella.
3. En piscinas, gimnasios, balnearios, etc., terraza o lugar reservado para tomar el sol. -> Solárium.
4. Elemento químico de núm. atóm. 74. Metal escaso en la corteza terrestre, se encuentra en forma de óxido y de sales en ciertos minerales. De color gris acerado, muy duro y denso, tiene el punto de fusión más elevado de todos los elementos. Se usa en los filamentos de las lámparas incandescentes, en resistencias eléctricas y, aleado con el acero, en la fabricación de herramientas. (Símb. W). -> Wolframio.
5. Dicho de un doctor o de un doctorado: en reconocimiento a méritos especiales. -> Honoris causa. Doctor, doctorado honoris causa. Fue nombrado honoris causa por la Universidad de Valladolid.
6. Locución nominal usada para ponderar algo, exagerándolo y levantándolo a lo más que puede llegar. -> Non plus ultra.
7. Forma tradicional española del nombre de este país africano, constituido por un grupo de islas. -> Comoras.

Problema: Sabiendo calcular el número de permutaciones posibles, determinar el número de combinaciones realizables con las cifras del "juego del 15". Con otras palabras, calcular el número total de ejercicios que es posible efectuar con ese juego.

Solución: Se comprende fácilmente que el cálculo se reduce a hallar el número de combinaciones posibles a base de 15 objetos. Sabemos, según hemos visto, que para ello es preciso multiplicar sucesivamente: 1 x 2 x 3 x 4 x … x 14 x 15.

Como resultado se obtiene: 1.307.674.365.000, o sea, más de un billón.

La mitad de ese enorme número de ejercicios son insolubles, o sea que en este juego más de 600.000 millones de combinaciones no tienen solución. Por ello se comprende en parte la fiebre de apasionamiento por el "juego del 15", que embargó a las gentes, que no sospechaban la existencia de ese inmenso número de casos insolubles.

Si fuera posible colocar cada segundo las cifras en una nueva posición, para realizar todas las combinaciones posibles habría que trabajar incesantemente día y noche más de 40.000 años.

1. Forma tradicional española del nombre de la capital de Japón. -> Tokio.
2. Mundo, conjunto de todo lo existente. -> Cosmos.
3. Circuito que se produce accidentalmente por contacto entre dos conductores de polos opuestos y suele ocasionar una descarga. -> Cortocircuito.
4. Conjunto de los buques o carruajes, efectos o pertrechos escoltados. -> Convoy.
5. En el béisbol, jugada en que el bateador golpea la pelota de tal manera que le permite hacer un circuito completo entre las bases y ganar una carrera. -> Jonrón.
6. Asalto a las juderías con matanza de sus habitantes. -> Pogromo.
7. Instrumento musical de percusión, usado en algunos países del Caribe, que consiste en un tubo de madera cubierto en su extremo superior por un cuero de chivo bien tenso y descubierto en la parte inferior. -> Bongó.

Problema: De los 10 comensales anteriores, 5 son muchachas y desean sentarse a la mesa alternando con los muchachos. Nuevamente, deseamos saber de cuántos modos diferentes pueden disponerse.

Solución: A pesar de que el número posible de combinaciones se reduce en este caso considerablemente, el cálculo es más complejo.

Supongamos que se sienta a la mesa, indiferentemente del sitio que elija, uno de los jóvenes. Los otros cuatro pueden sentarse, dejando vacías para las muchachas las sillas intermedias, adoptando 1 x 2 x 3 x 4 = 24 formas diferentes. Como en total hay 10 sillas, el primer joven puede ocupar 10 sitios distintos. Esto significa que el número total de combinaciones posibles para los muchachos es de 10 x 24 = 240.

¿En cuántas formas diferentes pueden sentarse en las sillas vacías, situadas entre los jóvenes, las 5 muchachas? Evidentemente serán 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120. Combinando cada una de las 240 posiciones de los muchachos con cada una de las 120 que pueden adoptar las muchachas, obtendremos el número total de combinaciones posibles, o sea, 240 x 120 = 28.800.

Este número, como vemos, es muchas veces inferior al que hemos citado antes y se necesitaría un total de 79 años. Los jóvenes clientes del restaurante que vivieran hasta la edad de cien años podrían asistir a una comida servida gratis, si no por el propio camarero, al menos por uno de sus descendientes.

1. Se dice del religioso de la Orden de Santo Domingo. -> Dominico, ca.
2. Perteneciente o relativo a 1898 y a la generación que lleva ese nombre. -> Noventayochista.
3. Juego que se hace con 28 fichas rectangulares divididas en dos cuadrados, cada uno de los cuales lleva marcados de uno a seis puntos, o no lleva ninguno. Cada jugador pone por turno una ficha que tenga número igual en uno de sus cuadrados al de cualquiera de los dos que están en los extremos de la línea de las ya jugadas, y gana quien primero coloca todas las suyas o quien se queda con menos puntos, si se cierra el juego. -> Dominó.
4. Textos y lecciones de la Escritura que en el oficio divino corresponden a cada domingo. -> Domínica / Dominica.
5. Grupo de enfermedades, agudas o crónicas, producidas por la lesión de las astas anteriores o motoras de la médula. Sus síntomas principales son la atrofia y parálisis de los músculos correspondientes a las lesiones medulares. -> Poliomielitis.
6. Catálogo de nombres, ya de pueblos, ya de sujetos, ya de voces técnicas de una ciencia o facultad. -> Nomenclátor.
7. Unidad monetaria de Hungría. -> Forinto.