Problema: Pedro, Felipe y Saturio están preparando bocadillos para una excursión. Tienen veintiún panecillos y un trozo de queso. Cuando llevan hechos siete bocadillos, se dan cuenta de que, si siguen poniendo la misma cantidad de queso en cada uno, no habrá bastante para todos, y deciden reducir a la mitad la cantidad de queso por bocadillo. Aún así, solo consiguen hacer siete bocadillos más, y quedan siete panecillos sin queso.

Sin partir ningún bocadillo ni panecillo, ¿cómo harán el reparto de forma que a cada uno de los tres le toque la misma cantidad de pan y de queso?

Solución: Un posible reparto es: 3e 1m 3p, 3e 1m 3p, 1e 5m 1p (e = bocadillo con ración de queso entera, m = con media ración, p = panecillos sin queso), y otro 2e 3m 2p, 2e 3m 2p, 3e 1m 3p.

Problema: ¿Cómo expresar la unidad, empleando al mismo tiempo las diez primeras cifras?

Solución: 148/296 + 35/70 = 1

Problema: Iba Diógenes por el bosque con su linterna en la mano, cuando se encontró con Flora.

- ¿Qué buscas, Diógenes? -le preguntó la diosa primaveral.

A lo que el filósofo contestó con su famosa frase:

- Busco un hombre.

- Pues aquí cerca hay uno -díjole la diosa-, pero no bastará la luz de tu linterna para reconocerlo, ya que está en compañía de dos faunos de apariencia totalmente humana.

»Son dos faunos muy singulares, pues mientras uno siempre dice la verdad, el otro miente invariablemente. En cuanto al hombre verdadero, como es habitual entre los de vuestra voluble especie, unas veces dice la verdad y otras miente, de forma imprevisible.

»Sigue, oh, Diógenes, por este camino y hallarás a los tres jóvenes, que se llaman Jacinto, Narciso y Lirio. Puedes hacerles dos preguntas, de las que se contestan diciendo sí o no; las dos preguntas se las puedes hacer al mismo, o bien una a un joven y otra a otro, como prefieras. Si de este modo averiguas cuál de los tres es el hombre, premiaré tu ingenio dándote mi protección, y la Naturaleza te será propicia.

Como es bien sabido, Diógenes vivió en un tonel, en armonía con la Naturaleza y sin necesidades urbanas, por lo que es de suponer que superó la prueba.

¿Cómo lo hizo?

Ayuda: las dos preguntas pueden ser,

a. de tus compañeros, ¿es Narciso el que más probablemente contestaría con la verdad a una pregunta?
b. si le preguntara al otro fauno si Jacinto es el hombre, ¿me diría que sí?

En cada caso analizar distintas posibilidades.

Solución: Primera pregunta a Jacinto:

- ¿Es Narciso el que más probablemente dirá la verdad?

a) Si Jacinto es el fauno sincero y dice sí: Narciso es el hombre y Lirio el fauno mentiroso.

b) Si Jacinto es el fauno mentiroso y dice sí: Narciso es el hombre y Lirio el fauno mentiroso.

c) Si Jacinto es el hombre y dice sí: Narciso es fauno (sincero o mentiroso) y Lirio es fauno (sincero o
mentiroso).

Luego Lirio es fauno y a él va dirigida la segunda pregunta:

- ¿Es Jacinto el que más probablemente dirá la verdad?

a) Si Lirio es el fauno sincero y dice sí: Jacinto es el hombre y Narciso el fauno mentiroso.

b) Si Lirio es el fauno mentiroso y dice sí: Jacinto es el hombre y Narciso el fauno sincero.

c) Si Lirio es el fauno sincero y dice no: Jacinto es el fauno mentiroso y Narciso el hombre.

d) Si Lirio es el fauno mentiroso y dice no: Jacinto es el fauno sincero y Narciso el hombre.

Conclusión: si la respuesta a la primera pregunta es sí, la segunda va dirigida a Lirio puesto que sin duda es fauno.

Si Lirio contesta sí a esa segunda pregunta, entonces Jacinto es el hombre. Si contesta no, Narciso es el hombre.

De la misma manera si la respuesta a la primera pregunta es no:

a) Si Jacinto es el fauno sincero: Narciso es el fauno mentiroso y Lirio el hombre.

b) Si Jacinto es el fauno mentiroso: Narciso es el fauno sincero y Lirio el hombre.

c) Si Jacinto es el hombre: Narciso es fauno y Lirio es fauno.

En este caso, lo único cierto es que Narciso es fauno y a él va dirigida la segunda pregunta:

- ¿Es Jacinto el que más probablemente dirá la verdad?

a) Si Narciso es el fauno sincero y dice sí: Jacinto es el hombre y Lirio el fauno mentiroso.

b) Si Narciso es el fauno mentiroso y dice sí: Jacinto es el hombre y Lirio el fauno sincero.

c) Si Narciso es el fauno sincero y dice no: Lirio es el hombre y Jacinto el fauno mentiroso.

d) Si Narciso es el fauno mentiroso y dice no: Lirio es el hombre y Jacinto el fauno sincero.

Conclusión: si la respuesta a la primera pregunta es no, la segunda pregunta va dirigida a Narciso, puesto que sin duda es fauno.

Si la respuesta de Narciso a la segunda pregunta es sí, entonces Jacinto es el hombre. Si la respuesta es no, el hombre es Lirio.

*Crédito de la respuesta, aquí.*

Problema: Los Gómez y los López se encuentran por la calle, y rápidamente se produce un efusivo intercambio de besos y abrazos. Cada uno de los López saluda a cada uno de los Gómez. Al saludarse dos varones se dan un abrazo, mientras que al saludarse dos mujeres, o un hombre y una mujer, se dan un beso. Al final de la efusiva salutación se han producido 35 abrazos y 42 besos.

¿Cuántas mujeres y cuántos varones hay en cada familia?

Solución: Cada uno de los Gómez saluda a cada uno de los López, o sea que el total de saludos (independientemente de que sean besos o abrazos) será igual al producto del número de miembros de una familia por el de la otra. El número total de saludos será la suma de abrazos y besos, o sea 42 + 35 = 77. Ahora bien, 77 solo puede descomponerse en dos factores de las formas 7 x 11 y 77 x 1; pero la segunda posibilidad no sirve, ya que si el miembro solitario fuera mujer, los abrazos serían 0 y los besos 77, y si fuera un hombre, los besos serían 0.

Análogamente, los 35 abrazos equivalen al producto del número de varones de una familia por el de la otra, y como 35 solo puede descomponerse en dos factores de las formas 5 x 7 y 35 x 1, y la segunda posibilidad queda eliminada por incompatible, tenemos que hay 5 varones en una familia y 7 en la otra, y que las familias constan de 7 y 11 miembros respectivamente. Así que en una familia hay 5 varones y 2 mujeres, y en la otra 7 varones y 4 mujeres.

Problema: Un día, un famoso grupo musical hizo un concierto tan malo que tuvo que salir corriendo del escenario. Para poder escapar, disponían de un túnel que estaba muy oscuro, por el que podían pasar como máximo dos personas al mismo tiempo. Solo tenían una linterna para poder cruzar el túnel. Los cuatro componentes del grupo no eran igualmente rápidos. Habían realizado simulacros y uno tardaba 10 minutos en recorrer el túnel, otro tardaba 5 minutos, otro tardaba 2 minutos y el último tardaba 1 minuto. Cuando van de dos en dos, siempre tardan en recorrer el túnel el tiempo que tarda el más lento. Lógicamente si dos de ellos han pasado el túnel con la linterna, uno de los dos tiene que volver para que puedan pasar el túnel los que falten. La pregunta es la siguiente: ¿es posible que el grupo pueda escapar en 17 minutos?

Solución: 1) El problema tiene solución.
2) Nombraré a las personas por el tiempo que tardan:

- van el 1 y el 2.........................2 minutos.
- vuelve el 1..............................3 minutos.
- van el 10 y el 5......................13 minutos.
- vuelve el 2.............................15 minutos.
- van el 1 y el 2........................17 minutos.

Hay otra posible solución si el primero que vuelve es el 2.

Problema: Las cestas contienen huevos; en unas cestas hay huevos de gallina, en las otras de pato. Su número está indicado en cada cesta: 5, 6, 12, 14, 23 y 29. "Si vendo esta cesta -meditaba el vendedor- me quedará el doble de huevos de gallina que de pato".

¿A qué se refiere el vendedor?

Solución: El vendedor se refería a la cesta con 29 huevos. En las cestas con números 23, 12 y 5 había huevos de gallina; los de pato se hallaban en las cestas designadas con el 14 y el 6.

Hagamos la comprobación. Total de huevos de gallina que quedaron:

23+12+5=40

De pato:

14+6=20

De gallina había el doble que de pato, lo que satisface a las condiciones del problema.

Problema: Un señor entra en la taberna y pide cuatro litros de vino.

¿No le daría lo mismo cinco, o tres? -pregunta el tabernero-. Solo tengo un barril de ocho litros y dos cazos vacíos para medir, uno de tres y otro de cinco.

Pero el cliente insiste en que quiere cuatro litros, ni uno más ni uno menos, y el tabernero se las ingenia para medir cuatro litros exactos utilizando sus cazos.

¿Cómo lo hace?

Ayuda: Tened en cuenta que se puede trasvasar de un cazo al otro.

Solución: La ya pormenorizada en las réplicas.

Problema: Dicen que este problema lo planteó en cierta ocasión un matemático rural. Es un cuento bastante divertido. Un campesino encontró en el bosque un anciano desconocido. Se pusieron a charlar. El viejo miró al campesino con atención y le dijo:

- En este bosque yo sé que hay un toconcito maravilloso. En caso de necesidad ayuda mucho.
- ¡Cómo que ayuda! ¿Acaso cura algo?
- Curar no cura, pero duplica el dinero. Pones debajo de él el portamonedas con dinero, cuentas hasta cien, y listo: el dinero que había en el portamonedas se ha duplicado. Esta es la propiedad que tiene. ¡Magnífico tocón!
- ¡Si pudiera probar! – exclamó soñador el campesino.
- Es posible. ¡Cómo no! Pero hay que pagar.
- ¿Pagar? ¿A quién? ¿Mucho?
- Hay que pagar al que indique el camino. Es decir, a mí en este caso. Si va a ser mucho o poco es otra cuestión.

Empezaron a regatear. Al saber que el campesino llevaba consigo poco dinero, el viejo se conformó con recibir un peso y 20 centavos después de cada operación en que se duplicara el dinero. En eso quedaron.

El viejo condujo al campesino a lo más profundo del bosque, lo llevó de un lado para otro y, por fin, encontró entre unas malezas un viejo tocón de abeto cubierto de musgo. Tomando de manos del campesino el portamonedas, lo escondió entre las raíces del tocón. Contaron hasta cien. El viejo empezó a escudriñar y hurgar al pie del tronco y, al fin, sacó el portamonedas, entregándoselo al campesino.

Este miró el interior del portamonedas y..., en efecto, el dinero se había duplicado. Contó y dio al anciano el peso y los veinte centavos prometidos y le rogó que metiera por segunda vez el portamonedas bajo el tocón maravilloso.

Contaron de nuevo hasta cien; el viejo se puso otra vez a hurgar en la maleza junto al tocón y de nuevo se realizó el milagro: el dinero del portamonedas se había duplicado. El viejo recibió del bolsillo el peso y los 20 centavos convenidos.

Escondieron por tercera vez el portamonedas bajo el tocón. El dinero también se duplicó esta vez. Pero cuando el campesino hubo pagado al viejo la remuneración prometida, en el portamonedas no quedó ni un solo centavo. El pobre había perdido en la combinación todo su dinero. No había ya nada que duplicar y el campesino, abatido, se retiró del bosque.

El secreto de la duplicación maravillosa del dinero, naturalmente, está claro para ustedes: no en balde el viejo, rebuscando el portamonedas, hurgaba en la maleza junto al tocón. Pero, ¿pueden ustedes indicar cuánto dinero tenía el campesino antes de los desdichados experimentos con el traicionero tocón?

Solución: Antes de la primera duplicación el campesino tenía 1 peso y 5 centavos.

Problema: Cierta persona compró un impermeable, un sombrero y unos chanclos y pagó por todo 200 dólares. El impermeable le costó 90 dólares más que el sombrero; el sombrero y el impermeable juntos costaron 160 dólares más que los chanclos. ¿Cuál era el precio de cada prenda?

El problema hay que resolverlo mentalmente, sin emplear ecuaciones.

Solución: Los chanclos, 20 dólares, el sombrero, 45 dólares, y el impermeable, 135 dólares.

Problema: Un pastelero recibe tres paquetes con 100 caramelos cada uno. Uno de los paquetes contiene caramelos de naranja, otro de limón y el tercero mitad y mitad: 50 de naranja y 50 de limón.

Pero el fabricante le advierte que, a causa de un error de envasado, las tres etiquetas de los paquetes -naranja, limón y surtidos- están cambiadas.

¿Cuántos caramelos tendrá que sacar como mínimo el pastelero para averiguar el contenido de cada paquete?

Solución: Basta con sacar un solo caramelo del paquete con la etiqueta "surtido".

Problema: A un aficionado a los rompecabezas le preguntaron cuántos años tenía. La contestación fue compleja:

- Tomad tres veces los años que tendré dentro de tres años, restadles tres veces los años que tenía hace tres años y resultará exactamente los años que tengo ahora.

¿Cuántos años tiene ahora?

Solución: La solución aritmética es bastante complicada, pero el problema se resuelve con facilidad si recurrimos al álgebra y planteamos una ecuación. Designaremos con la letra x el número de años buscado. La edad 3 años después se expresará por x+3, y la edad de 3 años antes por x-3. Tenemos la ecuación:

3(x+3)-3(x-3)=x

Despejando la incógnita, resulta

x=18.

El aficionado a los rompecabezas tiene ahora 18 años.

Comprobémoslo: dentro de 3 años tendrá 21; hace 3 años tenía sólo 15.
La diferencia 3.21-3.15=63-45=18, es decir,
igual a la edad actual del aficionado a los rompecabezas.

Problema: A un herrero le trajeron 5 trozos de cadena, de tres eslabones cada uno, y le encargaron que los uniera formando una cadena continua.

Antes de poner manos a la obra, el herrero comenzó a meditar sobre el número de anillos que tendría necesidad de abrir y forjar uno nuevo. Decidió que le haría falta abrir y cerrar cuatro anillos.

¿No es posible efectuar este trabajo abriendo y forjando un número menor de anillos?

Solución: Puede cumplirse el trabajo encargado, abriendo solo tres eslabones. Para ello es preciso soltar los tres eslabones de uno de los trozos y unir con ellos los extremos de los cuatro trozos restantes.

Problema: Si le abandonaran en una isla desierta y le dieran a elegir entre un martillo y una caja de clavos, ¿que escogería?

Imagínese, además, que la isla está llena de árboles, y un buen día se declara un incendio en la punta norte. Para colmo de males, sopla un persistente viento del norte, por lo que el fuego amenaza con barrer toda la superficie de la isla en pocos minutos. La vegetación es tan tupida que no hay un solo rincón en tierra en que un hombre pueda resguardarse de las llamas. Podría tirarse al mar mientras durara el incendio, pero no se lo vamos a poner tan fácil: el agua está infestada de tiburones.

¿Qué haría?

Solución: Mucha gente elige el martillo, sin pensar que un martillo es fácil de suplir con una piedra, mientras que una caja de clavos tendría una gran utilidad y es difícil suplir por otros métodos de ensamble.

En cuanto al incendio, la solución sería provocar un nuevo fuego hacia la mitad de la isla y mantenerse entre ambos frentes de llamas. Cuando el primero llegara a la mitad, el segundo ya habría consumido el resto de la vegetación y el fuego se apagaría por falta de combustible.

Problema: En una misma caja hay 10 pares de calcetines de color café y 10 pares negros, y en otra caja hay 10 pares de guantes de color café y otros tantos pares negros. ¿Cuántos calcetines y guantes es necesario sacar de cada caja, para conseguir un par de calcetines y un par de guantes de un mismo color (cualquiera)?

Solución: Bastan 3 calcetines, porque 2 serán siempre del mismo color. La cosa no es tan fácil con los guantes, que se distinguen no solo por el color, sino porque la mitad de los guantes son de la mano derecha y la otra mitad de la izquierda. En este caso hará falta sacar 21 guantes. Si se sacan menos, por ejemplo 20, puede suceder que los 20 sean de una mano (por ejemplo, 10 de color café de la mano izquierda y 10 negros de la mano izquierda).

Problema: En un tablero del juego de damas hay que colocar dos fichas, una blanca y otra negra. ¿De cuántos modos diferentes pueden disponerse dichas fichas?

Solución: Las dos fichas se pueden disponer de 4032 modos diferentes.

Problema: Lo que voy a contar sucedió en 1932. Tenía yo entonces tantos años como expresan las dos últimas cifras del año de mi nacimiento. Al poner en conocimiento de mi abuelo esta coincidencia, me dejó pasmado al contestarme que con su edad ocurría lo mismo. Me pareció imposible.

- Claro que es imposible -añadió una voz-.

Pues es completamente posible. Mi abuelo me lo demostró. ¿Cuántos años teníamos cada uno de nosotros?

Solución: A primera vista puede creerse, efectivamente, que el problema está mal planteado; parece como si el nieto y el abuelo fueran de la misma edad. Sin embargo, las condiciones exigidas por el problema se cumplen fácilmente, como vamos a verlo ahora mismo.

El nieto, evidentemente, ha nacido en el siglo XX. Las dos primeras cifras del año de su nacimiento, por consiguiente, son 19; ese es el número de centenas. El número expresado por las cifras restantes, sumado con él mismo, debe dar como resultado 32. Es decir, que este número es 16: el año de nacimiento del nieto es 1916, y en 1932 tenía 16 años.

El abuelo nació, claro está, en el siglo XIX; las dos primeras cifras del año de su nacimiento son 18. El número duplicado, expresado por las restantes cifras, debe sumar 132. Es decir, que su valor es igual a la mitad de este número, o sea a 66. El abuelo nació en 1866, y en 1932 tenía 66 años.

De este modo, el nieto y el abuelo tenían, en 1932, tantos años como expresan las dos últimas cifras de los años de su nacimiento.

Problema: Tenemos un vaso con agua y un vaso con vino. Tomamos una cucharadita de agua del primer vaso, la echamos en el segundo y removemos, con lo que tendremos una mezcla homogénea de vino con un poco de agua. A continuación, con la misma cuchara, tomamos una cucharadita de esta mezcla y la echamos en el vaso de agua.

¿Habrá más vino en el vaso de agua que agua en el vaso de vino, o viceversa?

Solución: La apariencia engañosa es la siguiente: al vino le echamos una cucharada de agua pura, mientras que al agua le echamos una cucharada de vino aguado, luego habrá más agua en el vino que vino en el agua. Pero este razonamiento es falso, porque al vaso de agua, cuando le echamos la cucharada de vino aguado, le falta la cucharada de agua que hemos quitado previamente. Razonando de la forma debida, resulta evidente que habrá la misma cantidad de agua en el vino que de vino en el agua: a cada vaso le hemos quitado una cucharada de líquido y luego se la hemos añadido, es decir, cada vaso contiene al final de la operación la misma cantidad de líquido que al principio, luego lo que al vaso de vino le falte de vino lo tendrá de agua, y viceversa.

Problema: Dada la siguiente disposición, enlazar los nueve puntos mediante cuatro líneas rectas, continuas y fluidas, sin quiebre ni detención alguna.

.   .   .
.   .   .
.   .   .

Solución: La explicación ofrecida por kupo solventa sin enmienda alguna el problema. Nada más que aportar.

Problema: En El mercader de Venecia, de Shakespeare, Porcia tenía tres cofres, uno de oro, otro de plata y otro de plomo, y colocó su retrato en uno de ellos. El pretendiente tenía que elegir un cofre y si este contenía el retrato podría elegir a Porcia por esposa. En la tapa de cada cofre había una inscripción para ayudar al pretendiente:

Oro: El retrato está en este cofre.

Plata: El retrato no está aquí.

Plomo: El retrato no está en el de oro.

Porcia explicó al pretendiente que de las tres inscripciones, a lo sumo una era verdad.

¿Qué cofre debe elegir el pretendiente?

Solución: Para dilucidar satisfactoriamente el problema debemos considerar cada una de las distintas afirmaciones de una manera lógica hasta hallar aquella que no envuelve contradicciones. Comencemos por suponer que el cofre de oro es veraz: si fuera así, el retrato se alojaría en su interior, pero igualmente también en el cofre de plata, que mentiría al negar la posesión. Por lo tanto, esta primera opción no sirve al no ser inequívoca. Continuemos con el presupuesto de veracidad del de plata: él no encierra el retrato, que tampoco podría estar en el de oro, con lo que tan solo restaría la opción del de plomo; sin embargo, su inscripción implicaría un desmentido de la anterior, reluciendo de nuevo una contradicción que desmonta la posibilidad. La última variante supone que el cofre de plomo es el veraz: así pues, el retrato no está en el de oro, quien efectivamente mentiría al darlo por sentado... además, el de plata, que también miente, lo niega, dando por cerrado el ciclo lógico. Esta es la única ilación que no envuelve duda ni doble final.

El retrato está, así pues, en el cofre plateado.

Problema: Todas mis camisas son blancas menos dos, todas son azules menos dos y todas son rosas menos dos.

¿Cuántas camisas tengo de cada color?

Solución: Si todas son blancas menos dos, entre azules y rosas solo hay dos, es decir, una de cada una. Repitiendo el mismo razonamiento para las rosas o azules, se ve que solo hay una camisa blanca, una azul y una rosa. Esta es la solución obvia, pero cabe otra más sofisticada: tengo dos camisas, y ninguna de las dos es ni blanca ni azul ni rosa (por ejemplo: una amarilla y otra verde). Todas menos dos, es decir, cero son blancas, cero son azules y cero son rosas.

Problema: Tres misioneros y tres caníbales han de cruzar un río en una barca en la que solo caben dos personas. Los tres misioneros saben remar, pero solo uno de los caníbales sabe hacerlo. Por otra parte, han de efectuar el traslado de forma que en ningún momento los caníbales superen en número a los misioneros, pues en tal caso se los comerían.

¿Cuál es el mínimo número de viajes que habrán de efectuar para cruzar todos al otro lado sin que los caníbales se coman ningún misionero, ni lleguen siquiera a mordisquearlo?

Solución: Designando con una m a cada uno de los misioneros, con una c a los caníbales que no reman y con ç al caníbal que rema, tendrán que cruzar de la siguiente forma (evidentemente, los números impares son viajes de ida y los pares de vuelta):

1. cç / 2. ç / 3. cç / 4. ç / 5. mm / 6. mc / 7. mç / 8. mc / 9. mm / 10. ç / 11. cç / 12. ç / 13. cç